Alla ricerca del politico: la via lunga e la via breve (263e-267b)

La via lunga Una volta dimostrata la scorrettezza della divisione proposta da Socrate il Giovane, la ricerca della definizione del politico riprende da dove era stata interrotta. Il forestiero eleatico osserva che si può pervenire alla meta o seguendo una via lunga, oppure imboccandone una breve. La via breve consiste nel separare una parte piccola da una molto più grande, esponendosi al rischio di divisioni spurie; la via lunga consiste invece nel procedere per successive dicotomie (265a). I due itinerari, lungo e breve, sono presentati l'uno successivamente all'altro, come illustrato nelle figure qui a lato. Il fatto che sia possibile scegliere l'uno o l'altro indica che il metodo della dicotomia non serve a produrre una classificazione del mondo, ma è piuttosto una procedura - il cui contenuto può essere variabile - finalizzata a pervenire a una definizione il più possibile rigorosa.

La via breve I due percorsi conducono, inevitabilmente, a rappresentare il politico o re come un pastore¹¹ e gli essere umani come creature di interesse meramente zoologico. Lo stesso forestiero eleatico si diverte a far notare che, oltre a raffigurare il re come una specie di bovaro o di porcaro, il percorso della sua partizione appaia l'uomo all'animale «più nobile e più adattabile», che sarebbe il maiale¹² (266c). Nel secondo libro della Repubblica era denominata «città dei porci» la città primitiva, volta a soddisfare solo i bisogni primari; essa era rappresentata come una comunità prepolitica, nella quale non si ponevano ancora problemi di giustizia, perché si rimaneva interamente confinati nella necessità biologica, senza margini di scelta. Su questa base, si può ipotizzare che il parallellismo porcino suggerito dall'eleatico alluda già alla sua tesi successiva, per la quale il re-pastore si addice, appunto, soltanto a un mondo non ancora politico.

Bipedi, quadrupedi e numeri irrazionali: uno scherzo matematico (266a-b)

Il forestiero eleatico illustra la distinzione fra bipedi e quadrupedi con un gioco di parole geometrico. I due generi si distinguono «con la diagonale, e con la diagonale della diagonale» (266a). Infatti: Quadrati

STRA. La natura che il genere di noi uomini si trova a possedere per il camminare è forse costituita in qualche altro modo oppure è come la diagonale che è la potenza di due piedi?

SOCR. IL G. No, è così.

STRA. E certamente a sua volta la natura del restante genere rappresenta, quanto a potenza, la diagonale della nostra potenza, se appunto è per natura quella di due volte due piedi (266b).

Il gioco di parole si basa sul duplice significato di dynamis (potenza, quadrato) e di "piede" (parte anatomica, unità di misura).

Dato un quadrato il cui lato è un piede (il quadrato giallo in figura), la sua area sarà di un piede quadrato; il quadrato costruito sulla sua diagonale AB, cioè sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele in cui ciascun cateto vale un piede, avrà, per il teorema di Pitagora, un'area di 2 piedi quadrati. Ma 2 piedi sono anche la potenza con la quale i bipedi camminano.

Il quadrato con area di 2 piedi quadri costruito sulla diagonale AB (il quadrato rosso in figura) avrà come lato √2; il quadrato costruito sulla sua diagonale AC (il quadrato blu in figura, che è la diagonale della diagonale, in quanto costruito sulla diagonale del quadrato rosso, che era stato a sua volta costruito sulla diagonale del quadrato giallo) sarà, per il teorema di Pitagora, di 4 piedi quadrati (√2²+√2²=4). Ma 4 piedi sono anche la potenza con cui i quadrupedi camminano.

√2 è un numero irrazionale. Ma questo numero, nelle proporzioni, non produce affatto risposte indeterminate. Nel caso in oggetto esso genera due numeri interi naturali familiari e commensurabili quanto i piedi dei bipedi e dei quadrupedi, parte di una progressione geometrica con ragione 2.

Anche la politica ha a che fare con l'irrazionalità. Entro quali rapporti è possibile produrre, dall'irrazionale, il razionale?

Ragionare con gli irrazionali: la V definizione del V libro degli Elementi di Euclide

La quinta definizione del V libro degli Elementi di Euclide contiene un metodo per valutare le frazioni, inventato dall'astronomo e matematico Eudosso di Cnido, che aveva frequentato l'Accademia di Platone.

Due coppie di grandezze sono nello stesso rapporto, cioè sono proporzionali, se preso un qualsiasi equimultiplo della prima e della terza, e un qualsiasi altro equimultiplo della seconda e della quarta, gli equimultipli della prima coppia sono uguali, o sono maggiori o sono minori similmente agli equimultipli della seconda coppia. così:

possiamo dire che w:x = y:z se presi due numeri m e n abbiamo che

se nw > mx, allora ny > mz

se nw = mx, allora ny = mz

se nw < mx, allora ny < mz

Questo metodo puà essere usato anche se i rapporti sono irrazionali.

Prendiamo, per esempio, il rapporto fra la diagonale e il lato dei tre quadrati oggetto dello scherzo geometrico del Politico: √2:1; 2:√2; 2√2:2. Il valore di questo rapporto è un numero irrazionale, √2. Questo, però, non significa che il rapporto fra la diagonale di un quadrato e il suo lato non abbia una proporzione che rimane costante, pur nel variare delle due grandezze. Se applichiamo il metodo di Eudosso, moltiplicando il primo termine di questi rapporti per m, e il secondo per n, otteniamo delle grandezze che possiamo paragonare fra loro. stabilendo se sono maggiori, minori o uguali - esattamente come potremmo fare se il rapporto fosse un numero razionale.

Le sezioni di Dedekind

Eudosso riuscì a valutare anche i rapporti che hanno come esito numeri irrazionali inserendoli entro ordinamenti i cui termini possono essere comparati come maggiori, minori e uguali. Nel XIX secolo il matematico tedesco Dedekind usò una estensione di questo criterio per l'individuazione dei numeri reali, tanto razionali quando irrazionali.

Ogni numero razionale, osservò Dedekind, divide l'insieme dei numeri reali in due sottoinsiemi: quello di tutti i numeri che sono minori del numero dato, e quello dei numeri che gli sono maggiori e uguali. E questo è vero non solo per i numeri razionali, ma anche per quelli irrazionali. Quindi qualsiasi numero, razionale e irrazionale, può essere costruito come una sezione, un "taglio", dell'insieme Q dei numeri reali il quale forma un sottoinsieme A con le seguenti proprietà:

A non è vuoto ed è diverso da Q
per ogni numero a in A, se a' minore o uguale ad a allora a' appartiene a A
A non ha massimo, cioè non esiste m in A tale che m > a per ogni altro a in A. Infatti in qualsiasi intervallo fra m e a ci sono infiniti numeri irrazionali: ma questo è vero anche se a è un numero razionale.

Che rilevanza ha tutto ciò per la politica? Semplicemente questa: contro quanto sostenevano gli eleatici, è possibile "misurare" un mondo irrazionale con concetti ad esso incommensurabili se trattiamo i concetti stessi non come qualcosa che deve essere esattamente ritrovato nell'esperienza, bensì come criteri di demarcazione a cui approssimarsi.

Letture consigliate

La soluzione del problema della duplicazione del quadrato nel "Menone".

Gli Elementi di Euclide. La prima versione italiana di Niccolò Tartaglia; una versione inglese con annotazioni.

^{[ 11 ]}L'epiteto formulare di "pastore del popolo" era usato da Omero a proposito di re come Agamennone, Achille ed Ettore. Nello stesso mondo dipinto da Omero, l'autorità dei re non era però assoluta, bensì più simile a quella di un primus inter pares entro una comunità aristocratica: l'epiteto sembra il relitto di una situazione già arcaica e ormai largamente desueta.

^{[ 12 ]}Si veda P. Shorey, «A lost platonic joke», Classical Philology 12 (3), 1917, pp. 308-310.