Grafo

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I ponti di Königsberg e l’architettura delle reti

Francesca Di Donato

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11-05-2005 14:11:11


Sommario

Pagine collegate e bibliografia

La città di Königsberg ha una geografia particolare: si trova alla confluenza di due fiumi, comprende un isolotto ed è divisa in quattro parti. Come mostra la figura, che rappresenta la città prima del 1875, fino a quella data le quattro parti della città erano collegate tra loro tramite sette ponti. La storia narra che gli abitanti si divertissero a scommettere sulla possibilità di trovare un percorso che, partendo da una qualsiasi delle quattro zone della città, permettesse loro di attraversare ciascun ponte soltanto una volta, ritornando in fine al punto di partenza.

Nel 1736 il matematico Eulero fornì una dimostrazione matematica dell’impossibilità di trovare un tale percorso (Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis), dando così origine alla cosiddetta teoria dei grafi.

Eulero associò al problema la rappresentazione schematica della figura sotto, rappresentando ciascuna della quattro zone della città con un cerchio, e indicando ogni ponte con una linea:

Eulero rappresentò il problema attraverso una struttura matematica che prende, appunto, il nome di grafo, e che consiste in un insieme di vertici (o nodi) connessi tramite spigoli (o link). Egli basò la sua dimostrazione sul fatto che i nodi con un numero dispari di link dovevano trovarsi al principio o al termine del percorso, e che un percorso che cominciasse in un punto e finisse in un altro non potesse avere più di due nodi siffatti. È facile osservare che il grafo di Konigsberg ha quattro nodi con un numero dispari di collegamenti; pertanto, il percorso cercato è impossibile da trovare. Il problema fu dunque risolto, e, per buona pace dei suoi abitanti, nel 1875 a Königsberg fu costruito un ottavo ponte.

La teoria inaugurata da Eulero è oggi considerata il fondamento della attuale concezione delle reti. Eulero aveva infatti osservato che l’esistenza o meno del percorso è una proprietà del grafo, e non dipende dalla nostra capacità di trovarla. Vale a dire che “nella loro architettura, i grafi o le reti nascondono proprietà che possono limitare o favorire ciò che possiamo fare con loro” (Barabàsi, p. 14).

In un saggio recente, il fisico rumeno Albert-Laszlo Barabàsi porta l’attenzione sull’importanza dell’imparare a pensare le reti. Barabàsi ripercorre le tappe essenziali nella storia della scienza delle reti, e definisce un particolare modello teorico, le reti a invarianza di scala, di cui mostra esempi significativi. Internet, il World Wide Web, la rete delle citazioni scientifiche, le presenze sul set degli attori di Hollywood e persino la diffusione dei virus hanno un’architettura comune, ovvero sono riconducibili ad un unico modello. Si tratta di reti distribuite dinamiche in crescita, tenute insieme da una gerarchia di connettori, che formano una tela senza il ragno, vale a dire autorganizzata. In particolare,

Che cos’è dunque l’architettura di una rete? Il fisico rumeno prende le distanze dalla definizione proposta dal giurista americano Lawrence Lessig, che identifica l’architettura di Internet e del Web con il codice software. Con architettura, Barabàsi intende “l’arte di superare i limti imposti dalla materia”, questione che, a suo parere, si pone a un livello di organizzazione (e di astrazione) superiore rispetto al piano codice. “Come gli edifici costruiti dagli architetti, l’architettura del Web è il prodotto di due elementi ugualmente importanti: il codice e le azioni umane collettive da esso regolate. Il primo può essere stabilito in ugual modo dai tribunali, dal governo e dalle aziende; il secondo non può essere invece modellato da nessuna istituzione e da nessun singolo utente, perché il Web non ha un progetto centrale: è autorganizzato” (p. 184).


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